Während einer elasto-plastischen Belastung können ich die Eigenschaften des verwendeten Materials infolge der Entstehung, des Wachstums und des Zusammenschmelzens von Mikrorissen und -lücken verschlechtern. Dieser Effekt der Materialschädigung läßt sich durch die Einführung von internen Variablen mitberücksichtigen.

1. Materialschädigung


Das Schädigungsverhalten des Materials läßt sich mit dem Konzept der effektiven Spannungen berücksichtigen [1-2]. Dabei wird das Verhalten des geschädigten Materials durch des Verhalten das ungeschädigten Materials beschrieben, indem die Spannungen durch die effektiven Spannungen ersetzt werden (Abbildung 1)


Abbildung 1: Effektive Spannung und Dehnungsäquivalenz


Der Wert D = 0 entspricht dem ungeschädigten Material, D Î [0, Dc] dem teilweise geschädigten und D = Dc dem lokal zerstörten Material (Dc Î [0 ,1 ]). Hierbei ist Dc der kritische Wert der Materialschädigung.

Zur Beschreibung des Schädigungsfaktors werden zwei einfache Modelle verwendet, die auf Lemaitre [3] und Shichun & Hua [4] zurückgehen. Die Modelle sind linear abhängig von der äquivalenten plastischen Dehnung eeq und vier Materialkonstanten (Dehnung, bei der Schädigung erstmals auftritt: eD; Dehnung beim Bruch: eR; kritischer Wert des Materialschädigung beim Bruch: Dc; Querkontraktionszahl für das Modell nach Lemaitre: n; Koeffizient für das Modell nach Shichun & Hua : B). Das erste Modell beinhaltet dabei die Annahme, daß die mechanischen Effekte für die Kavitäten und Mikrorisse dasselbe Verhalten für Zug wie für Druck zeigen, während das zweite die Art des hydrostatischen Spannungszustandes mitberücksichtigt. Der Materialschädigungsfaktor wird für beide Fälle mit folgender Beziehung bestimmt:



Hierin ist Rs die Triaxialitätsfunktion, die wie folgt gegeben ist:

ï Modell von Lemaitre


ï Modell von Shichun & Hua


seq ist die Vergleichsspannung (seq = (3/2 sD:sD)1/2) und sH der hydrostatische Anteil des Spannungstensors (sH = (1/3 tr(s)). Für die äquivalente plastische Dehnung p ergibt sich:



Die drei Materialkonstanten eD, eR und Dc werden üblicherweise experimentell in Ab-hängigkeit der Temperatur ermittelt. Für den Koeffizienten B empfehlen Rice &Tracey [5] den Wert B = 3/2.

2. Generalisierten standard Materials


Damit im folgenden der Einfluß einer begrenzt linear kinematischen Verfestigung mitberücksichtigt werden kann, wird hier das Konzept des ÑGeneralized Standard Material Model" verwendet [6]. Man erhält die sogenannten generalisierten Spannungen und Dehnungen, die hier wie folgt definiert sind:



Hierin sind s der Spannungstensor und ee, ep und eJ die elastischen, plastischen bzw. thermischen Anteile des Dehnungstensor e. Die Größen w, k und p sind Vektoren mit der Dimension r, die die internen elastischen und plastischen Parameter sowie die Verfestigungsspannungen beschreiben. Die Dimension von r hängt dabei von dem gewählten Verfestigungsmodell ab.

Im Rahmen der geometrisch linearisierten Theorie kann der gesamte generalisierte Dehnungstensor e in einen elastischen, plastischen und thermischen Anteil aufgeteilt werden. Es gilt:


bzw.


3. Allgemeines statisches Einspieltheorem


Falls ein Faktor a > 1, ein zeitunabhängige Eigenspannungsfeld und ein zeitunabhängiges Verfestigungsspannungsfeld existieren, so daß für alle Lasten a*(t) eines Lastraumes L und für alle Punkte x innerhalb eines Volumens V die Melaníschen Bedingungen [7, 8]



nicht verletzt wird, dann wird die Struktur unter den gegebenen Lasten einspielen.

Literaturverzeichnis



  1. Kachanov, L.M.: Time of the rupture process under creep conditions, Izv. Akad. Nauk, S.S.R., Otd. Tech. Nauk 8, 26-31 (1958).

  2. Lemaitre, J.; Chaboche, J.L.: Mécanique des matériaux solides. Paris: Dunod (1985).

  3. Lemaitre, J. A.: continuous damage mechanics model for ductile fracture. J. Engng. Mat. Tech. 107, 83-89 (1985).

  4. Shichun W.; Hua, L.: A kinetic equation for ductile damage at large plastique strain. J. Mat. Proc. Tech. 21, 295-302 (1990).

  5. Rice J.; Tracey D.: On ductile enlargement of voids in triaxial stress fields. J. Mech. Phys. Solids 17, 201-217 (1969).

  6. Halphen, B.; Nguyen, Q.S.: Sur les matériaux standards généralisés. J. Mécanique 14, 39-63 (1975).

  7. Hachemi, A.; Weichert, D.: An extension of the static shakedown theorem to a certain class of inelastic materials with damage. Arch. Mech. 44, 491-498 (1992).

  8. Hachemi, A.: Contribution à lëAnalyse de l'Adaptation des Structures Inélastiques avec Prise en Compte de lëEndommagement. Dissertation, University of Lille (1994).