Das Anfangs- und Randwertproblem in der Fließtheorie der Plastizität

Ziel


Es sollen Variationsmethoden zum Studium des Anfangs- und Randwertproblems in der Fließtheorie der Plastizität abgeleitet werden. Existenz, Eindeutigkeit, Anfangs- und Randwertabhängigkeit der Lösung sollen untersucht und numerische Näherungsmethoden entwickelt werden.

Lösungsweg


Zur Lösung der gestellten Aufgabe greift man auf vereinfachende Hypothesen zurück, wie kleine Verformungen, quasistatisches Problem, verallgemeinertes Standard-Material (GSM) im Sinne von Halphen und Nguyen. Man versucht dann das Problem als Variationsproblem zu formulieren (die schwache Form des Problems, als Variationsgleichung oder -ungleichung in gewissen Funktionenräumen). Danach wendet man eine indirekte (auf die Äquivalenz des Variationsproblems mit einem Minimum- oder Stationaritätsproblem gestützte) oder eine direkte Methode (z. B. die Galerkin-Methode) an.



Stand der Entwicklung


Die ursprünglich zur Vereinfachung eingeführte Hypothese der perfekten Plastizität führt zu einem mehrwertigen Inklusionsproblem für den Subgradienten. Die Methoden der konvexen Analysis, mit denen man diese Art von Problemen behandeln kann, wurden 1966-1980 von Moreau und anderen entwickelt. Der Funktionenraum, der zum Studium des Problems geeignet ist, wurde um 1985 von Strang, Temam und Suquet beschrieben. Die "schlechten" Eigenschaften dieses Raumes behinderten die Entwicklung von Variations- und Annäherungsmethoden. Dagegen kann man Probleme mit verfestigendem Materialgesetz in den besser bekannten Sobolew-Räumen studieren; erste Ergebnisse in dieser Richtung wurden in den letzten Jahren erhalten. Verfestigungsprobleme führen zu parabolischen Variationsungleichungen, die durch Diskretisierungs- und Regularisierungsmethoden behandelt werden können.

Ausblick


Die Entwicklung einer Methode, die die Eleganz der Variationsmethoden mit der Allgemeinheit des GSM und der Anwendbarkeit der Finiten Elemente-Methode verknüpft, steht noch aus. Sie wäre auf Probleme mit zyklischen thermomechanischen Belastungen, wie sie im Bereich der Einspielungstheorie (shakedown) auftreten, anwendbar. Eine Erweiterung zu finiten Deformationen ist vorgesehen.

Michael Ban, 3.2.1998

The Initial and Boundary Value Problem in the Flow Theory of Plasticity
by Dr. rer. nat. M. Ban

Target


Variational methods for the study of the initial and boundary value problem in the flow theory of plasticity are to be developed. Existence, unicity, dependence of the solution of the initial and boundary values are subject of this research. Numerical approximation methods have also to be constructed.

Methods


To solve the problem above, simplifying hypotheses are to be made, like small deformations, quasistatical problem, generalized standard material (GSM) in the sense of Halphen and Nguyen. One tries to reformulate the problem as variational problem (the weak form, as variational equality or inequality in some function spaces). After this, one uses an indirect method (based on the equivalence of the variational problem with a minimum or stationarity problem) or a direct one (like the method of Galerkin).



State of the research


The hypothesis of perfect plasticity, introduced initially to simplify the problem, leads to multivalued inclusion problems for the subgradient. The methods of the convex analysis useful in such situations were developed 1966-1980 by Moreau and others. The function space suitable for such problems was described around 1985 by Strang, Temam and Suquet. The "bad" properties of this space delayed the development of variational and approximation methods. On the other side, the problems for hardening materials may be studied in the better known Sobolev spaces. First results in this direction were obtained in the last years. Problems for hardening materials lead to parabolic variational inequalities, which can be studied by discretization or regularization methods.

Outlook


A method which unifies the elegance of variational calculus, the generality of the GSM model and the applicability of the FEM is still to be found. She could be applied on problems involving cyclical thermomechanical loading, as they arise in the shakedown phaenomena. An extension to finite deformations is intended.