Die Vernachlässigung des Einflusses geometrischer Nichtlinearitäten in der klassischen Plastizitätstheorie kann bei der Berechnung des Verhaltens elasto-plastischer Strukturen zu erheblichen Abweichungen von ihrem tatsächlichen Verhalten führen. In der vorliegenden Arbeit wird dieser Einfluß geometrischer Nichtlinearitäten untersucht.

 


Die äußeren Lasten a* sind spezieller Art: Bis zu einem Zeitpunkt tR erfährt B endlisch, als bekannt vorausgesetzte Verschiebungen uR unter der Last aR* derart, daß B zur Zeit tR in der bekannten Konfiguration CR im Gleichgewicht ist. Für Zeiten t > tR ist B zyklischen Lasten unterworfen mit:



Wir nehmen an, daß Ct ist ebenfalls wir CR eine Gleichgewichtskonfiguration ist [1-7], so daß die folgenden Gleichungen gelten:

(a) statische Bedingungen



mit



(b) kinematische Bedingungen



mit



Für die weiteren Betrachtungen ist es zweckmäßig, sich von der zeitlich vränderlichen Zusatzbelastung ar* zu befreien, indem man eine partikuläre Lösung für das Überlagerte Problem konstruiert. Eine besondere partikuläre Lösung ist dabei die Lösung eines fiktiven rein elastischen Vergleichsproblem. Dazu wird ein rein elstischer Vergleichskörper B (c) (Abbildung 1) eingeführt, der für Zeiten t £ tR die gleiche Konfiguration CR wie der Realkörper B hat und den gleichen Spannungen sR wie im Realkörper B unterworfen ist, aber für t > tR im Gegensatz zu B auf die zeitlich vränderlichen äußeren Zusatzwirkungen rein elastisch reagiert. Diese äußeren Zusatzwirkungen erzeugen nun Zusatzverschiebungen ur(c), Zusatzspannungen sr(c) und Zusatzdehnungen er(c), wodurch B(c) in eine fiktive Konfiguration C(c) überführt wird. Dabei ist zu berücksichtigen, daß im rein elastischen Vergleichskörper B (c) keine plastischen Zusatzdehnungen und keine Zusatzschädigungen auftreten können. Die differenz der Zustände von B und B(c) ist dann durch die folgenden Differenzfelder beschreiben:


 

Abbildung 1: Zum Konzept des rein elastischen Vergleichskörpers B (c)


Da wir uns auf den Fall beschränken, daß die durch die zeitlich veränderlichen äußeren Wirkungen hervorgerufenen Zusatzverformungen und Zusatzspannungen klein sind [1-4]. Unter diesen Voraussetzungen gilt die folgende Behauptung:

Der Körper spielt ein, wenn ein effektiv zeitlich konstanter Differenzspannungszustand existiert [7], so daß für alle Zeiten gilt:



mit



Literaturverzeichnis



  1. Weichert, D.: On the influence of geometrical nonlinearities on the shakedown of elastic-plastic structures. Int. J. Plasticity 2, 135-148 (1986).

  2. Weichert, D.: Zum Problem geometrischer Nichtlinearitäten in der Plastizitätstheorie. Mitteleilungen aus dem IfM, No. 53, Ruhr-Universität Bochum (1987).

  3. Gross-Weege, J.: Zum Einspielverhalten von Flächentragwerken. Mitteleilungen aus dem IfM, No. 58, Ruhr-Universität Bochum (1988).

  4. Gross-Weege, J.: A unified formulation of statical shakedown criteria for geometrically nonlinear problems. Int. J. Plasticity 6, 433-447 (1990).

  5. Saczuk, J.; Stumpf, H.: On Statical Shakedown Theorems for Non-linear Problems. Mitteleilungen aus dem IfM, No. 74, Ruhr-Universität Bochum (1990).

  6. Tritsch, J. B.: Analyse d'Adaptation des Structures Elasto-plastiques avec Prise en Compte des Effets Géométriques. Dissertation, University of Lille (1993).

  7. Weichert, D.; Hachemi, A.: Influence of geometrical nonlinearities on the shakedown of damaged structures. Int. J. Plasticity 14, 891-907 (1998).