Einspielen dreidimensionaler Strukturen


Dr.-Ing. Frank Schwabe

Aufgabenstellung


Oftmals ist die Beurteilung der Gebrauchsfähigkeit von Strukturen hinsichtlich des Versagens wichtiger, als die genaue Kenntnis der sich tatsächlich einstellenden Spannungen und Verschiebungen. Diese Art der Auslegung bedeutet in der Regel eine Ersparnis an Material bzw. die Möglichkeit, Sicherheitsfaktoren genauer anzugeben. Ziel von Einspiel-Untersuchungen ist es, die maximalen Grenzen einer Belastung derart zu bestimmen, daß ein Bauteil unter variablen Lasten gerade noch einspielen kann, also nicht versagt, ohne auf die zeitliche Entwicklung der Belastung Rücksicht zu nehmen.
In der Vergangenheit sind entsprechende Theorien entwickelt worden. Meistens wird dabei der Einfachheit halber eine zwei-dimensionale Beschreibung des Problems zugrunde gelegt. Die Erweiterung auf den allgemeinen drei-dimensionalen Fall ist bisher ausgeblieben. Ebenso ist bisher kaum eine experimentelle Überprüfung der gewonnenen numerischen Ergebnisse durchgeführt worden.
Ziel dieser Arbeit ist also die Entwicklung einer Software zur Untersuchung allgemeiner drei-dimensionaler Strukturen. Die Behandlung von inhomogenen Körpern soll dabei möglich sein. Die Software soll weiterhin zur Vorbereitung experimenteller Untersuchungen eingesetzt werden.

Der Begriff des Einspielens


Der Begriff des Einspielens (englisch: „Shakedown") läßt sich einfach am Beispiel eines Biegebalkens erläutern. Vorausgesetzt wird ein elastisch-idealplastisches Werstoffverhalten, so daß ein elastisches Grenzmoment, bis zu dem der Balken vollkommen elastisch reagiert, mit




angeben werden kann. Wird über diese Grenze hinaus belastet, dann wird der Balken plastifiziern. Die maximalen Last, die er jetzt noch tragen kann, wird durch das Traglastmoment



beschrieben. Die Entlastung bewirkt nun eine Eigenspannung im Balken. Bei einer erneuten Belastung des Systems bis zum Erreichen des Traglastmomentes wird sich nun keine weitere plastische Verformung einstellen. Der Balken verhält sich elastisch, er hat eingespielt.



Die allgemeine mathematische Formulierung geht auf Melan (1938) zurück. Falls ein Faktor a und ein zeit-unabhängiges Eigenspannungsfeld r existieren, so daß die Fließbedingung (z. B. nach Huber - von Mises) überall erfüllt ist, dann wird das System unter dem gegebenen Lastraum einspielen.
Die Eigenspannungen r müssen dabei die homogenen statischen Gleichgewichts- und Randbedingungen erfüllen.



Die Aufgabe besteht nun darin, einen möglichst großen Faktor unter Einhaltung der angegebenen Nebenbedingung zu finden. Dieser Faktor wird auch Einspielfaktor genannt.

Finite-Element-Diskretisierung und Lösung


Zur Lösung des Optimierungsproblems kann eine Diskretisierung der zu betrachtende Struktur mit Hilfe der Methode der Finite-Elemente durchgeführt werden. Um möglichst flexibel zu bleiben ist die Wahl dabei auf gekrümmte isoparametrische Tetraederelemente mit linearen oder quadratischen Formfunktionen gefallen.



So läßt sich eine Diskretisierung beliebiger Strukturen durchführen (beispielsweise mit der kommerziellen Software IDEAS).



Die elastischen Spannungen lassen sich dann mit den bekannten Verfahren der FEM leicht berechnen.
Die Eigenspannungen jedoch lassen sich nicht auf einfache Weise bestimmen. Ausgehend vom Prinzip der virtuellen Arbeit läßt sich für die Eigenspannungen ein stark überbestimmtes Gleichungssystem aufstellen. Man findet also keinen eindeutigen Eigenspannungszustand mehr. Vielmehr muß mit diesem Gleichungssystem eine Lösung in einem groß dimensionierten Raum gefunden werden, die den Einspielfaktor maximiert.

Die Lösung kann mit einem Optimierungsprogramm für nicht-lineare Problemstellungen gefunden werden.



Für groß dimensionierte Systeme ist die Lösung des zugehörigen Einspielproblems mit einem großen Speicher- und Rechenzeitaufwand verbunden. Da diese Probleme nicht hinnehmbar sind, wird derzeit versucht, eine Lösung effizient auf einer Workstation bzw. auf einem schnellen PC zu erzielen. Dies geschieht durch eine geschickte Wahl der Basisvektoren (Technik der reduzierten Basen). Durch eine zusätzliche plastische Berechnung wird ein Unterraum des ursprünglichen Problems erzeugt, in dem eine gute Näherung der Lösung gefunden werden kann.

Erste Ergebnisse


Da für dreidimensionale Strukturen bisher kaum Ergebnisse in der Literatur zu finden sind, wurde versucht, ein eigentlich zweidimensionales Problem zu untersuchen. Viele Autoren verwenden die ebene Lochplatte als Testfall, um die Richtigkeit ihrer Numerik zu zeigen. Die ebene Lochplatte wurde daher als eine dünne räumliche Platte aufgefaßt. Die erzielten Ergebnisse stimmen mit denen aus der Literatur recht gut überein.






Experimentelle Untersuchungen


Am Institut für Allgemeine Mechanik soll ein Groß-Versuchsstand aufgebaut werden, in dem experimentelle Untersuchungen zum Einspielen von dreidimensionalen Strukturen durchgeführt werden. Es besteht dann die seltene Gelegenheit, die Ergebnisse der Numerik mit denen des Experiments vergleichen zu können.

Kooperationen:



  1. Prof. A. R. S. Ponter, Department of Engineering, Leicester University, Great Britain
  2. Prof. G. Maier, Department of Structural Engineering, Politecnico di Milano, Italy