Oftmals ist eine Information über das Versagen bzw. Nicht-Versagen von Bauteilen und Strukturen unter veränderlichen Lasten wichtiger als die genaue Kenntnis der sich einstellenden Spannungen und Verschiebungen. Im folgenden steht die Frage im Mittelpunkt, ob ein Bauteil aufgrund akkumulierter inelastischer Verformungen versagt oder einen funktionalen Anforderungen noch genügt. Eine spezielle Art des Versagens ist die unbegrenzte Akkumulation plastischer Dehnungen im Inneren eines Körpers. Hierbei wird zwischen zwei möglichen Formen unterschieden. Die eine zeichnet sich durch das Auftreten alternierender plastischer Dehnungen aus, die zu einem lokalen plastischen Ermüden des Materials und schließlich zum Bruch führt. Die andere Form ist durch das inkrementelle unbegrenzte Anwachsen plastischer Verformungen während der Belastungszyklen gekennzeichnet, was schließlich zur Gebrauchsunfähigkeit der Struktur führt. Beide Versagensarten können auch gleichzeitig auftreten. Die erste Form wird auch Versagen aufgrund ÑAlternieren-der Plastizität" genannt, während die zweite als ÑInkrementelles Versagen" bezeichnet wird. Beide Formen haben gemeinsam, daß kein Zeitpunkt gefunden werden kann, jenseits dessen keine weiteren plastischen Verformungen auftreten. Der entgegengesetzte Fall, bei dem kein Versagen auftritt, wird als ÑEinspielen" bezeichnet.

Charakteristisch für diesen Zustand ist, daß in den ersten Zyklen des Belastungsprozesses im Körperinneren plastische Dehnungen entstehen, die eine Eigenspannungsverteilung hervorrufen. Ab einem gewissen Zeitpunkt des Belastungsprozesses verhindert die nun ausgebildete Eigenspannungsverteilung, daß zusätzliche plastische Dehnungen auftreten können. Der Körper verhält sich ab diesem Zeitpunkt nur noch rein elastisch. Man spricht jetzt vom ÑEinspielen" des Körpers

1. Der Begriff des Einspielens


Im folgenden wird ein Körper B betrachtet, der der Wirkung örtlich und zeitlich veränderlicher Lasten a*(x,t) aus einem Lastraum L ausgesetzt ist. Die zeitabhängigen Lasten können dabei Volumen-, Oberflächen-, Temperaturlasten oder vorgegebene Verschiebungen ein (f *(x,t), p*(x,t), J*(x,t), u*(x,t)) (Abbildung 1). Hierbei ist V das Volumen des Körpers, Su die Oberfläche mit kinematischen Randbedingungen, Sp die Oberfläche mit den Oberflächenlasten und n der auf der Oberfläche des Körpers nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor.


Abbildung 1: Körper B unter variablen Lasten


Im Rahmen der geometrisch linearisierten Theorie kann man für den Körper B unter den Lasten a*(x,t) des Lastraumes L verschiedene Verhaltensarten beobachten [1].


  • Elastizität

    Der Fall, bei dem sich der gesamte Körper von Beginn des Belastungsprozesses an rein elastisch verhält, ist unkritisch. Es treten zu keinem Zeitpunkt plastische Verformungen auf, und Spannungen und Dehnungen verschwinden vollständig beim Entlasten (siehe Abbildung 2). Der Körper bleibt für alle Belastungen rein elastisch.

    Abbildung 2: Elastizität

  • Kollaps

    Wird die elastische Grenzlast überschritten und die Belastung monoton bis zum Versagen des Bauteils erhöht, dann ist die sogenannte Traglastgrenze erreicht. Zur einfachen Bestimmung der Tragfähigkeit eine Tragwerke setzt man beim Traglastverfahren zunächst idealplastischen Werkstoff voraus (Abbildung 3).

    Abbildung 3: Kollaps

  • Alternierende Plastizität

    Der monoton anwachsenden Belastung stehen zeitlich veränderliche Belastungsprozesse gegenüber, die bereits vor Erreichen der Traglastgrenze zum Versagen führen können. Wechseln während eines Belastungsprozesses die Inkremente der plastischen Dehnungen in einigen Punkten des Körpers ständig ihr Vorzeichen, dann pricht man von alternierender Plastizität (Abbildung 4). Der Körper fließt unaufhörlich, was schließlich zu einem lokalen plastischen Ermüden (Low Cycle Fatigue) führt.

    Abbildung 4: Alternierende Plastizität

  • Unbegrenztes Anwachsen plastischer Dehnungen

    Eine weitere mögliche Form des Versagens ist durch das unbegrenzte Anwachsen plastischer Dehnungen gekennzeichnet (Ratchetting). Es gibt mindestens einen Punkt innerhalb des Körpers, bei dem die plastischen Dehnungsinkremente nicht verschwinden. Im Laufe des zyklischen Belastungsprozesses akkumulieren diese derart, daß der Körper entweder durch große Verformungen oder durch Bruch versagen wird (siehe Abbildung 5).

    Abbildung 5: Versagen durch unbegrenztes Anwachsen plastischer Dehnungen

  • Einspielen

    Den Fall des Nicht-Versagens, bei dem trotz anfänglicher plastischer Verformungen die plastischen Dehnungszuwächse abklingen, bis chließlich keine weitere Plastizierung mehr beobachtbar ist,bezeichnet man al Einspielen (Shakedown). Der Körper verhält sich dann rein elastisch (siehe Abbildung 6).

    Abbildung 6: Einspielen




Damit eine Struktur für jede beliebige Lastgeschichte einspielen kann, muß die spezifische pla tische Dissipationsarbeit wp bechränkt sein



Da diese lokale Definition bei der mathematischen Formulierung Schwierigkeiten bereitet, wird eine weniger scharfe Bedingung für Einspielen eingeführt. Die gesamte plastische Dissipationsarbeit Wp für die betrachtete Struktur muß beschränkt sein.



Damit die Ungleichung erfüllt wird, müssen im Laufe der Zeit die plastischen Dehnungszuwächse Dep (x,t) verschwinden. Da heißt, daß



Bei einer Einspieluntersuchung geht man der Frage nach, wie weit ein vorgegebener Lastraum L vergrößert werden darf, damit das betrachtete System unter diesem Lastraum gerade noch einspielt. Die mögliche Vergrößerung wird mit einem Faktor a angegeben. Die auftretenden Spannungen s(x,t) während der Belastungen a*(x,t) dürfen in keinem Punkt x und zu keiner Zeit t die Melan'sche Bedingung verletzen und müssen gleichzeitig die statischen Gleichgewichts- und Randbedingungen erfüllen:



2. Das statische Einspieltheorem


Das statische Einspieltheorem ist erstmals von Melan für ein Kontinuum unter Voraussetzung eines elastisch ñ ideal plastischen Materialverhaltens, der Existenz eines konvexen elastischen Bereich C mit striktem Inneren Ci und der Gültigkeit der Normalitätsregel formuliert worden (Abbildung 7).


Abbildung 7: Konvexität der Fließfläche und Normalitätsregel


Ein Körper B, der unter zeitabhängigen veränderlichen Oberflächenlasten p *(x,t) und Volumenlasten f *(x,t) steht, wird genau dann nicht aufgrund akkumulierter plastischer Dehnungen versagen, wenn ein zeitlich konstanter Eigenspannungszustand r(x) gefunden werden kann, der die folgenden zwei Bedingungen erfüllt: Zum einen muß sich jeder statisch zulässige Spannungszustand s(s)(x,t) im trikten Inneren Ci von C durch den rein elastischen Spannungszustand s(c)(x,t) eines Vergleichskörpers B (c) und dem zeitunabhängigen Eigen pannungszustand r(x) darstellen lassen (Abbildung 8). Der Vergleichskörper B (c) unterscheidet ich von dem Körper B nur dadurch, daß er rein elastisch auf die äußeren Oberflächenlasten p *(x,t) und Volumenlasten f *(x,t) reagiert. Zum anderen muß der zeitunabhängige Eigenspannungszustand r(x) die statischen Gleichgewichts-und Randbedingungen erfüllen [2, 3].



mit


 

Abbildung 8: Aktueller Körper und Vergleichskörper


Mit diesen beiden Gleichungen läßt sich das statische Einspieltheorem auch folgendermaßen ausdrücken:

Falls ein Faktor a > 1 und ein zeitunabhängiges Eigenspannungsfeld r(x) existieren, so daß für alle Lasten a*(t) eines Lastraumes Lund für alle Punkte x innerhalb eines Volumen V die Melan ísche Bedingung



nicht verletzt wird, dann wird die Struktur unter den gegebenen Lasten einspielen.

Literaturverzeichnis


[1] König, J.A.: Shakedown of Elastic-Plastic Structures. Amsterdam: Elsevier (1987).
[2] Melan, E.: Theorie statisch unbestimmter Systeme aus ideal-plastischem Baustoff. Sitber. Akad. Wiss., Wien, Abt. IIA 145, 195-218 (1936).
[3] Melan, E.: Zur Plastizität des räumlichen Kontinuums. Ing. Arch. 9, 116-126 (1938).