Dr.-Ing. Frank Schwabe, Dr. Abdelkader Hachemi, Prof. Dr.-Ing. Dieter Weichert

Einleitung


Oftmals ist eine Information über das Versagen bzw. Nicht-Versagen von Bauteilen und Strukturen unter veränderlichen Lasten wichtiger als die genaue Kenntnis der sich einstellenden Spannungen und Verschiebungen. Im folgenden steht die Frage im Mittelpunkt, ob ein Bauteil aufgrund akkumulierter inelastischer Verformungen versagt oder seinen funktionalen Anforderungen noch genügt. Eine spezielle Art des Versagens ist die unbegrenzte Akkumulation plastischer Dehnungen im Inneren eines Körpers. Hierbei wird zwischen zwei möglichen Formen unterschieden. Die eine zeichnet sich durch das Auftreten alternierender plastischer Dehnungen aus, die zu einem lokalen plastischen Ermüden des Materials und schließlich zum Bruch führt. Die andere Form ist durch das inkrementelle unbegrenzte Anwachsen plastischer Verformungen während der Belastungszyklen gekennzeichnet, was schließlich zur Gebrauchsunfähigkeit der Struktur führt. Beide Versagensarten können auch gleichzeitig auftreten. Die erste Form wird auch Versagen aufgrund "Alternierender Plastizität" genannt, während die zweite als "Inkrementelles Versagen" bezeichnet wird. Beide Formen haben gemeinsam, daß kein Zeitpunkt gefunden werden kann, jenseits dessen keine weiteren plastischen Verformungen auftreten. Der entgegengesetzte Fall, bei dem kein Versagen auftritt, wird als "Einspielen"(englisch "shakedown") bezeichnet. Charakteristisch für diesen Zustand ist, daß in den ersten Zyklen des Belastungsprozesses im Körperinneren plastische Dehnungen entstehen, die eine Eigenspannungsverteilung hervorrufen. Ab einem gewissen Zeitpunkt des Belastungsprozesses verhindert die nun ausgebildete Eigenspannungsverteilung, daß zusätzliche plastische Dehnungen auftreten können. Der Körper verhält sich ab diesem Zeitpunkt nur noch rein elastisch. Man spricht jetzt vom "Einspielen" des Körpers (Melan [Melan:1936, Melan:1938a, Melan:1938b]).

Der Begriff des Einspielens:


Unterliegt ein Bauteil oder eine Struktur zeitlich veränderlichen Lasten, so reicht die Berechnung der Maximalwerkte von Spannungen und Dehnungen nicht aus, um eine eindeutige Aussage über die Sicherheit gegenüber Versagen treffen zu können. Obwohl die Belastungsgeschichte keinen Einfluß auf die Größe der Traglastgrenze hat, besteht doch die Möglichkeit, daß das Bauteil bzw. die Struktur bereits vor Erreichen dieser Grenze versagt bzw. den funktionalen Anforderungen nicht mehr genügt. Im Rahmen der geometrisch linearisierten Theorie kann man für einen Körper unter variablen Lasten verschiedene Verhaltensarten beobachten.

  • Elastizität

    Der Fall, bei dem sich der gesamte Körper von Beginn des Belastungsprozesses an rein elastisch verhält, ist unkritisch. Es treten zu keinem Zeitpunkt plastische Verformungen auf, und Spannungen und Dehnungen verschwinden vollständig beim Entlasten.  Der Körper bleibt für alle Belastungen rein elastisch.

  • Kollaps

    Wird die elastische Grenzlast überschritten und die Belastung monoton bis zum Versagen des Bauteils erhöht, dann ist die sogenannte Traglastgrenze erreicht. Während dieses Belastungsprozesses plastiziert der Körper solange, bis er nicht mehr in der Lage ist, eine weiter anwachsende Belastung zu tragen. Die Verschiebungen wachsen dabei über alle Grenzen an, bis der Körper durch Bruch versagt. Diese kritische Belastung führt zum Kollaps.

  • Alternierende Plastizität

    Der monoton anwachsenden Belastung stehen zeitlich veränderliche Belastungsprozesse gegenüber, die bereits vor Erreichen der Traglastgrenze zum Versagen führen können. Wechseln während eines Belastungsprozesses die Inkremente der plastischen Dehnungen in einigen Punkten des Körpers ständig ihr Vorzeichen,  dann spricht man von alternierender Plastizität. Der Körper fließt unaufhörlich, was schließlich zu einem lokalen plastischen Ermüden (Low Cycle Fatigue) führt.

  • Unbegrenztes Anwachsen plastischer Dehnungen

    Eine weitere mögliche Form des Versagens ist durch das unbegrenzte Anwachsen plastischer Dehnungen gekennzeichnet (Ratchetting). Es gibt mindestens einen Punkt innerhalb des Körpers, bei dem die plastischen Dehnungsinkremente nicht verschwinden. Im Laufe des zyklischen Belastungsprozesses akkumulieren diese derart, daß der Körper entweder durch große Verformungen oder durch Bruch versagen wird.

  • Einspielen

    Den Fall des Nicht-Versagens, bei dem trotz anfänglicher plastischer Verformungen die plastischen Dehnungszuwächse abklingen, bis schließlich keine weitere Plastizierung mehr beobachtbar ist, bezeichnet man als Einspielen (Shakedown). Der Körper verhält sich dann rein elastisch.



Einspielen von Verbundwerkstoffen mit periodischer Mikrostruktur:


Ein großes Problem bei der Entwicklung von Verbundwerkstoffen ist die Vorhersage des Langzeitverhaltens unter variablen Lasten. Infolge der Heterogenität des Materials ist das Versagen von verschiedenen Effekten geprägt, die von den mechanischen und geometrischen Eigenschaften der verschiedenen Komponenten des Verbundwerkstoffes und deren Interaktionen zueinander abhängig sind. In den folgenden Betrachtungen werden Effekte, wie chemische Reaktionen, Festkörper-Flüssigkeits-Interaktionen in porösen Materialien, Sprödbruch der harten Faser und lokale Ablöseerscheinungen zwischen Fasern und Matrix außer Acht gelassen. Die Vorteile von Verbundwerkstoffen gegenüber herkömmlichen Materialien sind durch die Möglichkeit der Kombination der verschiedenen Eigenschaften von Matrix und Einschluß gegeben. Ein Beispiel hierfür sind "Metal-Matrix-Composites", bei denen in eine duktile Metallmatrix harte spröde Keramikpartikel eingebettet sind. Man erhält durch diese Kombination gleichzeitig die Eigenschaften der hohen Härte und die der Bruchzähigkeit, so wie es beispielsweise bei Schmiedewerkzeugen gewünscht ist.

Ein Versagen auf der Mikroebene kann globales Versagen verursachen. Beispielsweise führt bei den oben erwähnten MMC's die Akkumulation plastischer Verformungen zu einer Materialschädigung der duktilen Matrix und daraus resultierend zu Mikrorissen. Diese Risse können in der Folge fortschreiten und zum globalen Versagen führen.

Unterliegen diese Materialien einer variablen Belastung, dann bietet das statische Einspieltheorem die Möglichkeit, eine Vorhersage über das Versagen bzw. Nicht-Versagen des Materials zu treffen. Liegt eine Periodizität der Mikrostruktur vor, dann läßt sich die Einspieluntersuchung auf der Mikroebene durchführen und ihre Ergebnisse mit Hilfe einer Homogenisierungstechnik [Suquet:1983] auf die Makroebene übertragen. So ist es möglich, die mechanischen Prozesse auf der Mikroebene zu verstehen und so Rückschlüsse auf das makroskopische Verhalten zu ziehen. Im folgenden wird die Methodik der Einspieluntersuchung mit der der Homogenisierungstechnik [Buhan & Taliercio:1991, Hill:1963, Suquet:1983] verbunden. Die Einspieluntersuchung wird an einem repräsentativen Volumenelement (RVE) durchgeführt und die Ergebnisse mit Hilfe der Homogenisierungstechnik, die unter Annahme der Periodizität des betrachteten Verbundes durchgeführt wird, von der Mikro- auf die Makroebene übertragen. Die hier vorgestellte Methodik macht vom statischen Einspieltheorem Gebrauch und kann als Erweiterung der Vorgehensweise von [Suquet:1983] und [Taliercio:1992, Taliercio:1993] gesehen werden, die in ähnlicher Weise bei einer Grenzlastanalyse vorgehen.

Ähnliche Untersuchungen, allerdings unter Nutzung des kinematischen Einspieltheorems, sind von [Ponter et al.:1998], [Ponter & Leckie:1998a, Ponter & Leckie:1998b] und [Carvelli et al.:1999] durchgeführt worden.

Im folgenden wird ein Verbundwerkstoff betrachtet, bei dem in eine elastisch-plastische Matrix Einschlüsse nach einem regulären Muster eingebettet sind (siehe Abbildung~\ref{verbund}). Zwischen der Matrix und den Einschlüssen wird perfektes Haften angenommen. Abhängig von der Geometrie und den Belastungsrichtungen läßt sich die Einspieluntersuchung, wie in der Homogenisierungstheorie üblich, an einem ebenen bzw. räumlichen repräsentativen Volumenelement (RVE) durchführen. Liegen die Belastungsrichtungen ausschließlich in der  Schnittebene der unten gezeigten Abbildung, dann liegt ein ebenes Problem vor, das im Fall eines ausgedehnten Verbundes mit eingeschlossenen Fasern als ebener Dehnungszustand und im Fall eines flachen Verbundes mit flachen eingeschlossenen Partikeln als ebener Spannungszustand behandelt werden kann.



Zur Beschreibung der Heterogenität werden auf makroskopischer Ebene die Koordinaten x und auf mikroskopischer Ebene die Koordinaten y verwendet. Die Dimension der Koordinaten x sind im Vergleich zu den Koordinaten y sehr klein, daß heißt eine hinreichende Auflösung der  Heterogenität kann nur mit den Koordinaten auf der mikroskopischen Ebene erreicht werden.

Die Untersuchungen werden im folgenden nicht an dem elasto-plastischen repräsentativen Volumenelement durchgeführt, sondern an einem sich rein elastisch verhaltenen Volumenelement. Dabei werden auf der mikroskopischen Ebene ein rein elastisches Spannungsfeld,  das zugehörige Dehnungsfeld und ein zeitunabhängiges Eigenspannungsfeld ermittelt. Auf der makroskopischen Ebene beschreiben der makroskopische Spannungs- und Dehnungszustand das Verhalten des Materials.

Statisches Einspieltheorem für Verbundwerkstoffe mit periodischer Mikrostruktur [Weichert et al:1999a, Weichert et al.:1999b, Weichert et al.:1999c]

Falls ein Sicherheitsfaktor größer als Eins, ein zeitunabhängiges Eigenspannungsfeld und ein zeitunabhängiges Verfestigungsspannungsfeld so existieren, daß für alle Lasten eines vorgegebenen Lastraumes und für alle Punkte innerhalb des repräsentativen Volumenelementes die Fließbedingungen



sowie die Bedingung



nicht verletzt werden, so daß



gilt, dann wird der Verbundwerkstoff unter den gegebenen Lasten einspielen. Das Theorem ist gültig für mechanische und thermische Lasten sowie für elastisch - begrenzt linear kinematisch verfestigendes Materialverhalten mit Berücksichtigung isotroper, duktiler plastischer Schädigung.

Die Größen auf der mikroskopischen Ebene sind dabei mit den Größen auf der makroskopischen Ebene wie folgt verknüpft:




Finite-Elemente-Diskretisierung:


Um das vorgestellte statische Einspieltheorem auf Strukturen der Kontinuumsmechanik numerisch anwenden zu können, wird im folgenden eine Finite-Elemente-Diskretisierung durchgeführt. Damit ein Sicherheitsfaktor  bei einer Einspielanalyse bestimmt werden kann, müssen die nachfolgenden drei Bedingungen erfüllt sein.


  1. Die elastischen Spannungen müssen exakt bestimmt werden.

  2. Das zeitunabhängige Eigenspannungsfeld muß die Gleichgewichts- und Randbedingungen in allen Punkten des Körpers erfüllen.

  3. Die Einspielbedingung darf in keinem Punkt  verletzt werden.



Es ist schwierig, alle Bedingungen gleichzeitig zu erfüllen. Einige Autoren [Belytschko:1972], [Weichert & Groß-Weege:1988] versuchten durch die Verwendung Finiter Elemente mit Spannungsansätzen (Airy'sche Spannungsfunktionen), die gesuchten Spannungen exakt zu bestimmen. Diese Methode wird hier nicht weiter verfolgt, da es schwierig ist, geeignete Finite Elemente zu definieren. Die meisten existierenden Finite-Elemente-Programme benutzen Algorithmen, die auf Verschiebungsansätzen beruhen. Im folgenden wird daher auch eine auf einem Verschiebungsansatz beruhende Finite-Elemente-Diskretisierung vorgenommen. Die elastischen Spannungen in den Integrationspunkten entsprechen daher auch nur näherungsweise den exakten Spannungen. Ebenso werden die Eigenspannungen nur in den Integrationspunkten betrachtet, genauso wie die Einspielbedingungen nur in diesen Punkten überprüft werden. Die numerischen Sicherheitsfaktoren können daher auch nur einen Näherungswert des exakten Einspielfaktors liefern. Bei einer hinreichend feinen Vernetzung der zu betrachtenden Struktur kann allerdings davon ausgegangen werden, daß der berechnete Sicherheitsfaktor dem exakten recht nahe kommt.
Im folgenden wird die Diskretisierung der zu betrachtenden Strukturen stets mittels isoparametrischer Finiter Elemente durchgeführt. Die Gleichungen sind so angegeben, daß sie für den räumlichen Spannungszustand gültig sind. Eine Rückführung auf ebene Spannungs- bzw. Dehnungszustände ist dann leicht möglich.

Für die elastische Lösung folgt man der bekannten Vorgehensweise mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit. Die virtuelle Formänderungsarbeit muß gleich der virtuellen Arbeit der äußeren Kräfte sein.



Die linke Seite dieser Gleichung läßt sich dann wie folgt gestalten:



Für die rechte Seite ergibt sich:



Die äquivalenten thermischen Knotenlasten werden wie folgt ermittelt:



Man erhält hiermit unter Berücksichtigung der kinematischen Randbedingungen ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Knotenverschiebungen:



Aus den Verschiebungen werden schließlich die elastischen Spannungen ermittelt:



Das zeitunabhängige Eigenspannungsfeld muß ebenfalls dem Prinzip der virtuellen Arbeit genügen.



Die Integration wird analog zur Bestimmung des elastischen Spannungsfeldes durchgeführt.



Sortiert man die rechte Seite dieser Gleichung und führt die Variation unter Berücksichtigung der kinematischen Randbedingungen durch, dann erhält man ein System linearer Gleichungen mit



Die Matrix besitzt hierin mehr Zeilen als Spalten und kann daher nicht dazu genutzt werden, das zeitunabhängige Eigenspannungsfeld direkt zu bestimmen. Es handelt sich um ein unbestimmtes Gleichungssystem, das Nebenbedingungen darstellt, die bei der Bestimmung der Eigenspannungen stets erfüllt sein müssen.

Das oben angegebene statische Einspieltheorem kann nun in seiner schwachen Form formuliert werden. Die Fließbedingungen werden jetzt nur noch in den Ecken der zu untersuchenden Lasträume überprüft.

Diskretisiertes Statisches Einspieltheorem [Weichert et al.:1999]:



Der makroskopische Spannungsvektor ergibt sich dabei zu:



Es handelt sich hier um ein Optimierungsproblem mit linearen und nichtlinearen Nebenbedingungen. Diese Gleichungen bzw. Ungleichungen müssen in ein Optimierungsverfahren eingebunden werden, das es erlaubt, auch größer dimensionierte Problemstellungen zu bearbeiten. Die Gleichungen müssen für jeden Integrationspunkt der zu untersuchenden Struktur und für jede Lastecke eines vorgegebenen Lastraumes so formuliert werden, daß das Optimierungsverfahren den größtmöglichen Sicherheitsfaktor findet, wobei die Komponenten der Eigenspannungen und der Verfestigungsspannungen ebenfalls als unbekannte Größen in das Problem eingehen. Ein Lösungsalgorithmus, der für das vorliegende groß-dimensionierte Optimierungsproblem geeignet ist, findet sich in der mathematische Software LANCELOT [Conn et al.:1992] wieder, die auf einem augmentierten Lagrange'schen Verfahren beruht. In dem Algorithmus werden dabei automatisch die Ungleichungen  in Gleichungen überführt. Das Maximierungsproblem wird dann dadurch gelöst, daß für eine sorgfältig konstruierte Sequenz von abschätzenden Lagrange'schen Multiplikatoren, Skalierungsfaktoren und einem Penalty-Parameter angenäherte Maximierungsfaktoren für die augmentierte  Lagrange'sche Funktion gefunden werden. Startpunkt der Iteration zur Lösung des Problems ist der elastische Grenzzustand. Für diesen Punkt entspricht der Sicherheitsfaktor dem elastischen Grenzfaktor. Die zeitunabhängigen Eigen- und Verfestigungsspannungen haben sich noch nicht ausgebildet. Die Konvergenz dieses Verfahrens wird mit der Norm des projizierten Gradienten und den Nebenbedingungen überprüft. Die Optimierung wird beendet, falls Toleranzgrenen eingehalten werden. Eine detaillierte Beschreibung des Optimierungsverfahrens findet man in [Conn et al.:1992].

Ablauf einer Einspieluntersuchung:

Der Ablauf einer Einspielanalyse gliedert sich in mehrere Abschnitte:


  1. Vorgabe von Geometrie und Lasten:
    Die zu untersuchende Struktur und die Grenzen eines Lastraumes für die Einspieluntersuchung werden vorgegeben.
  2. Erstellen eines Finiten-Elemente-Modells:
    Mit Hilfe eines geeigneten Preprozessors (z.B. I-DEAS) wird die zu untersuchende Struktur mit Finiten Elementen diskretisiert.
  3. Elastische Lösungen bestimmen:
    Für jede Lastecke des vorgegebenen Lastraumes wird die elastische Lösung bestimmt. Diese Lösungen werden immer mit demselben Finite-Elemente-Modell in den Integrationspunkten bestimmt, wobei nur die Randbedingungen für jede Lastecke verändert werden.
  4. Einspielen:
    Für die diskretisierte Struktur wird ein Gleichungssystem von Nebenbedingungen für die zeitunabhängigen Eigenspannungen aufgestellt. Zusammen mit den Fließbedingungen in jedem Integrationspunkt und für jede Lastecke sowie der Begrenzung des Schädigungsfaktors für jeden Integrationspunkt wird das Optimierungsproblem formuliert und mit einer geeigneten mathematischen Optimierungssoftware [lancelot:1992] gelöst. Als Ergebnis erhält man einen Sicherheitsfaktor mit dem der vorgegebene Lastraum vergrößert werden kann, ohne daß der Bereich des Einspielens verlassen wird.


Untersuchung von Verbundwerkstoffen:


Um den maximal wirkenden makroskopischen Spannungszustand von regelmäßig strukturierten Verbundwerkstoffen bestimmen zu können, müssen Untersuchungen an der Mikrostruktur dieses Materials durchgeführt werden. Die regelmäßige Struktur des Verbundwerkstoffes erlaubt es, nur einen Teil stellvertretend für den gesamten Werkstoff zu untersuchen. Die Untersuchungen werden an einem repräsentativen Volumenelement durchgeführt. Es stellt sich dabei die Frage, welche Randbedingungen auf diesem repräsentativen Volumenelement aufgebracht werden müssen, damit es als eigene Struktur für sich das gleiche Verhalten zeigt wie innerhalb des Verbundes. In der nachfolgenden Abbildung wird ein solcher Verbundwerkstoff gezeigt, der unter der Wirkung zweier Normalspannungen steht. Er läßt sich in ein periodisches Muster einzelner Zellen einteilen. Die jeweiligen rechten und linken Ränder dieser Zellen sind dabei parallel zu den rechten und linken Rändern aller anderen Zellen. Gleiches gilt für die oberen und unteren Ränder.
Wird diese Struktur nun einer Normalspannungsbelastung ausgesetzt, so müssen die Ränder in der verformten Konfiguration ebenfalls parallel zu den jeweiligen Rändern der anderen Zellen sein. Jeder Rand ist dabei zugleich auch Symmetrieachse. Bei der vorgestellten Methode zur Bestimmung von Traglast- bzw. Einspielgrenzen macht man sich diese Eigenschaft zunutze, indem man auf den Rändern des zu untersuchenden repräsentativen Volumenelementes konstante Verschiebungen vorgibt. Für die jeweils gegenüberliegenden Kanten wird eine willkürlich angenommene Verschiebung  eingesetzt.



Mit Hilfe der Traglast- bzw. Einspielanalyse wird dann ein Sicherheitsfaktor bestimmt, mit dem diese angenommenen Verschiebungen multipliziert werden müssen, damit das repräsentative Volumenelement nicht versagt. Unter dieser maximal möglichen Verschiebung stellt sich dann über dem Volumenelement ein Spannungsfeld inklusive eines zeitunabhängigen Eigenspannungsfeldes ein. Hiermit läßt sich der makroskopische Spannungszustand durch Integration ermitteln. Er charakterisiert den Belastungszustand des gesamten Verbundes. Er ist infolge der Eigenschaft der Symmetrieachse jeder Zellgrenze zugleich schubspannungsfrei. Der makroskopische Spannungstensor hat dann unter der Annahme der Lastfreiheit in z-Richtung folgende Gestalt:



Die Spannungskomponente in z-Richtung tritt dabei nur für den ebenen Dehnungszustand auf.

Im folgenden wird ein Verbundwerkstoff bestehend aus einer elasto-plastischen Matrix und darin eingebetteten elasto-plastischen Fasern unter eindimensionaler Zugbelastung untersucht. Die Fasern sind nach einem regelmäßigen Muster innerhalb der Matrix angeordnet. Untersucht wird die quadratische Anordnung.



Mit der zuvor vorgestellten Theorie bzw. Numerik sollen die maximal möglichen tragbaren eindimensionalen makroskopischen Zugspannungen, die auf diesen Verbundwerkstoffen wirken dürfen, ermittelt werden. Es gelten die dort gemachten Annahmen. Die Untersuchungen werden an repräsentativen Volumenelementen unter der Annahme des ebenen Dehnungszustandes und für verschiedene Volumenverhältnisse von harten Fasern zur duktilen Matrix durchgeführt. Der Matrixwerkstoff ist Aluminium, der Faserwerkstoff Aluminiumoxid. Es wird zusätzlich angenommen, daß sich beide Werkstoffe elastisch - ideal plastisch verhalten.



In der nachfolgenden Abbildung ist das verwandte repräsentativen Volumenelemente mit seiner zugehörigen Finite-Elemente-Diskretisierung dargestellt. Aus Symmetriegründen wird nur die Viertel der repräsentativen Volumenelemente diskretisiert. Die Diskretisierung wird mit isoparametrischen Dreieckselementen mit quadratischen Ansatzfunktionen durchgeführt.



Vorgegeben werden zwei beliebige Verschiebungen, die auf den Seiten des quadratischen repräsentativen Volumenelemente wirken. Man bestimmt nun den maximal möglichen Sicherheitsfaktor für eine Traglastanalyse, mit der diese beiden Verschiebungen multipliziert werden müssen, damit die Struktur nicht versagt. Mit diesem Sicherheitsfaktor lassen sich die Komponenten der makroskopisch wirkenden Spannung ermitteln. Durch die Variation des Verhältnisses von den anfänglich vorgegebenen Verschiebungen läßt sich ein makroskopischer Spannungszustand finden, bei dem bis auf die gewünschte Normalspannungskomponente der andere Normal- und der Schubspannungsanteil des makroskopischen Spannungstensors verschwinden. In Faserrichtung bleibt wegen der Annahme des ebenen Dehnungszustandes eine Normalspannungskomponente erhalten. Das Verhältnis dieser Verschiebungen zueinander, um diesen gewünschten Spannungszustand zu erreichen, ist im vornherein unbekannt. Daher werden zwei Zustände berechnet, die nahe dem gewünschten Spannungszustand sind, und es wird durch lineare Inter- bzw. Extrapolation auf den gewünschten makroskopischen Spannungszustand geschlossen.

In der nachfolgenden Abbildung wird das Ergebnis dieser Berechnungen wiedergegeben und mit den Werten von [Du et al.:1995] und [Ponter et al.:1998] verglichen. Abgetragen wird die mit der Fließspannung der Matrix dimensionslos gemachte eindimensionale makroskopische Zugspannung beim Erreichen der Traglastgrenze über dem Volumenverhältnis von Faser zu Matrix. Die Arbeitsgruppe um Du verwendet zur Bestimmung der Traglastgrenze ein inkrementelles Verfahren. Weiterhin werden dort die Fasern als ideal starr angenommen. Ponter et al. dagegen nutzen das kinematische Einspieltheorem zu Ermittlung der gewünschten Spannungsgrößen. Sie verwenden das gleiche Materialmodell und die gleichen Materialwerte wie hier. Die Werte von Ponter et al. weichen allerdings nach oben ab. Da aber das von dieser Arbeitsgruppe verwandte Theorem eine obere Schranke bei der Traglastbestimmung liefert, sind die niedrigeren Werte, der mit in dieser Arbeit mit Hilfe des statischen Einspieltheorems bestimmten Ergebnisse, erklärlich. Ansonsten zeigt sich eine gute Übereinstimmung mit den zum Vergleich herangezogenen Ergebnissen der anderen Arbeitsgruppen.



Die so bestimmte Traglastgrenze für die einaxiale Zugbelastung ist nur ein Sonderfall einer zweiaxialen schubspannungsfreien Zug- bzw.  Druckbelastung. Hier wird jetzt die Menge aller zulässigen Lasträume bestimmt, die durch makroskopische Spannungen aufgespannt werden.



Der Volumenanteil der Fasern zum Gesamtvolumen beträgt 30%. Neben der Traglastanalyse wird auch eine Einspielanalyse dieser Struktur durchgeführt. Zur Ermittlung der makroskopischen Spannungsgrößen wird hier die Symmetrieeigenschaft der Einheitszellengrenze unter Belastung ausgenutzt. Auf den Kanten werden kinematische Randbedingungen vorgegeben. Im Anschluß an die nachfolgende Traglast- bzw. Einspielanalyse werden dann die maximal erlaubten makroskopischen Spannungsgrößen ermittelt. Damit die Spannungsräume, die durch die makroskopischen Spannungen aufgespannt werden, eine rechteckförmige Gestalt aufweisen, wird durch die Verschiebungen ein verzerrter Lastraum vorgegeben.



Im Einzelnen werden folgende Belastungsfälle unterschieden:


  • Elastizität:

    Die makroskopischen Spannungen können unabhängig voneinander variieren. Es wird nun festgestellt, inwieweit der von den makroskopischen Spannungen aufgespannte Lastraum, der durch die vier Lastecken begrenzt wird, vergrößert werden kann, damit sich das Material jederzeit rein elastisch verhält:

  • Traglastanalyse:

    Die makroskopischen Spannungen steigen vom unbelasteten Zustand monoton und proportional zueinander bis zum Erreichen der Traglastgrenze an:

  • Einspielen:

    Die makroskopischen Spannungen können unabhängig voneinander variieren. Es wird nun festgestellt, inwieweit der von den makroskopischen Spannungen aufgespannte Lastraum, der durch die vier Lastecken begrenzt wird, vergrößert werden kann, damit der Verbundwerkstoff unter den gegebenen Lasten einspielt:




In der nachfolgenden Abbildung ist das Ergebnis dieser Untersuchungen abgetragen. Dargestellt wird die maximal zulässige makroskopische Spannung normiert mit der Fließspannung des Matrixmaterials. Für die Elastizitäts- und Einspielanalyse geben die Ergebniskurven jeweils die äußere Ecke des zulässigen Lastraumes wieder.



Literatur:




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