Ein großes Problem bei der Entwicklung von Verbundwerkstoffen ist die Vorhersage des Langzeitverhaltens unter variablen Lasten. Infolge der Heterogenität des Materials ist das Versagen von verschiedenen Effekten geprägt, die von den mechanischen und geometrischen Eigenschaften der verschiedenen Komponenten des Verbundwerkstoffes und deren Interaktionen zueinander abhängig sind. Mit Hilfe der Homogenisierungstechnik wird der Übergang von Mikro- zu Makrostruktur hergestellt, so daß für den gesamten Werkstoff eine Aussage zum Einspielverhalten getroffen werden kann.

1. Das repräsentative Volumenelement


Im folgenden wird ein Verbundwerkstoff betrachtet, bei dem in eine elastisch-plastische Matrix Einschlüsse nach einem regulären Muster eingebettet sind (Abbildung 1). Zwischen der Matrix und den Einschlüssen wird perfektes Haften angenommen. Abhängig von der Geometrie und den Belastungsrichtungen läßt sich die Einspieluntersuchung, wie in der Homogenisierungstheorie üblich, an einem ebenen bzw. räumlichen repräsentativen Volumenelement (RVE) durchführen. Liegen die Belastungsrichtungen ausschließlich in der Schnittebene der unten gezeigten Abbildung 1, dann liegt ein ebenes Problem vor, das im Fall eines ausgedehnten Verbundes mit eingeschlossenen Fasern als ebener Dehnungszustand und im Fall eines flachen Verbundes mit flachen eingeschlossenen Partikeln als ebener Spannungszustand behandelt werden kann.


Abbildung 1: Verbundwerkstoff mit quadratischer Einheitszelle


Zur Beschreibung der Heterogenität werden auf makroskopischer Ebene die Koordinaten x und auf mikroskopischer Ebene die Koordinaten y verwendet. Die Dimension der Koordinaten x sind im Vergleich zu den Koordinaten y sehr klein, daß heißt eine hinreichende Auflösung der Heterogenität kann nur mit den Koordinaten auf der mikroskopischen Ebene erreicht werden. Aus mikroskopischer Spannung s und Dehnung e lassen sich auf diese Weise die makroskopische Spannung S und Dehnung E durch Mittelwertbildung über dem Volumen V des RVE bestimmen [1]



2. Das statische Einspielthorem


Die Einspielanalyse wird an einem Refrenzelement durchgeführt, das sich im Unterschied zum ursprünglichen RVE rein elstischen verhält. Damit der periodische Verbundwerkstoff einspielen kann, muß ein Sicherheitsfaktor a > 1, ein zeitunabhängiges Eigenspannungsfeld r und ein sicherer Bereich Pm [2] für die makroskopische Spannung S(s) gefunden werden [3-4]. Dieser Breich wird durch die Fließfläche nach von Mises definiert, wobei die Spannungen s(s) aus der Superposition von elastischem Spannungsfeld s(c) und zeitunabhängigem Eigenspannungsfeld r eigesetzt werden:



mit



und



Für eine gegeben makroskopische Dehnung E gelten dann die folgenden Beziehungen für das sich rein elstisch verhaltene repräsentative Volumenelement:



Die Eigenspannungen r müssen definitionsgemäß die homogen Gleichgewichtsbedingungen erfüllen



Literaturverzeichnis



  1. Hill, R.: Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles. J. Mech. Phys. Solids 11: 357-372 (1963).

  2. Suquet, P.: Analyse limite et homogénéisation. C.R. Acad. Sci. 296: 1355-1358 (1983).

  3. Weichert, D.; Hachemi, A.; Schwabe, F.: Shakedown analysis of composites. Mech. Res. Comm. 26: 309-318 (1999).

  4. Schwabe, F.: Einspieluntersuchungen von Verbundwerkstoffen mit periodischer Mikrostruktur. Dissertation, RWTH Aachen (2000).